Brachistochrone -kurven: 18 trinn (med bilder)

2024 Forfatter: John Day | [email protected]. Sist endret: 2024-01-30 11:22

Brachistochron -kurven er et klassisk fysikkproblem, som får den raskeste veien mellom to punkter A og B som er i forskjellige høyder. Selv om dette problemet kan virke enkelt, gir det et kontraintuitivt resultat og er derfor fascinerende å se. I denne instruksen vil man lære om det teoretiske problemet, utvikle løsningen og til slutt bygge en modell som demonstrerer egenskapene til dette fantastiske fysikkprinsippet.

Dette prosjektet er designet for videregående studenter å lage mens de dekker beslektede konsepter i teoriklasser. Dette praktiske prosjektet styrker ikke bare forståelsen av emnet, men tilbyr også en syntese av flere andre felt som skal utvikles. For eksempel, mens de bygger modellen, skal elevene lære om optikk gjennom Snells lov, dataprogrammering, 3d -modellering, digital frabrisering og grunnleggende ferdigheter i trebearbeiding. Dette gjør at en hel klasse kan bidra til å dele arbeidet mellom seg, noe som gjør det til et lagarbeid. Tiden som kreves for å lage dette prosjektet er rundt en uke og kan deretter demonstreres for klassen eller for yngre studenter.

Det er ingen bedre måte å lære enn gjennom STEM, så følg med for å lage din egen fungerende brachistochron -modell. Hvis du liker prosjektet, stem på det i klasseromskonkurransen.

Trinn 1: Teoretisk problem

Brachistochron -problemet er et som dreier seg om å finne en kurve som forbinder to punkter A og B som er i forskjellige høyder, slik at B ikke er rett under A, slik at det å slippe en marmor under påvirkning av et jevnt gravitasjonsfelt langs denne banen vil nå B på raskest mulig tid. Problemet ble stilt av Johann Bernoulli i 1696.

Da Johann Bernoulli spurte problemet med brachistochronen, i juni 1696, til leserne av Acta Eruditorum, som var en av de første vitenskapelige tidsskriftene i de tysktalende landene i Europa, mottok han svar fra 5 matematikere: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus og Guillaume de l'Hôpital som hver har unike tilnærminger!

Varsel: Følgende trinn inneholder svaret og avslører skjønnheten bak denne raskeste banen. Ta deg tid til å tenke på dette problemet, kanskje du kan knekke det akkurat som et av disse fem geniene.

Trinn 2: Bruke Snells lov for å demonstrere

En av tilnærmingene for å løse brachistochron -problemet er å takle problemet ved å trekke analogier med Snells lov. Snell's Law brukes til å beskrive stien som en lysstråle ville følge for å komme fra et punkt til et annet mens han gikk over to forskjellige medier, ved å bruke Fermats prinsipp, som sier at en lysstråle alltid vil ta den raskeste ruten. En formell avledning av denne ligningen finner du ved å gå til følgende lenke.

Siden et fritt fallende objekt under påvirkning av gravitasjonsfeltet kan sammenlignes med en lysstråle som overgår gjennom skiftende medier, blir strålen litt avviket hver gang lysstrålen møter et nytt medium. Vinkelen til dette avviket kan beregnes ved hjelp av Snells lov. Når man fortsetter å legge til lag med reduserende tettheter foran den avvikede lysstrålen, til strålen når den kritiske vinkelen, der strålen ganske enkelt blir reflektert, beskriver strålens bane brachistochron -kurven. (den røde kurven i diagrammet ovenfor)

Brachistochron -kurven er faktisk en cykloid som er kurven sporet av et punkt på kanten av et sirkulært hjul mens hjulet ruller langs en rett linje uten å glide. Så hvis vi trenger å tegne kurven, kan vi bare bruke metoden ovenfor for å generere den. En annen unik egenskap ved kurven er at en ball som slippes fra et hvilket som helst punkt i kurven vil ta nøyaktig samme tid å nå bunnen. Følgende trinn beskriver prosessen med å lage et klasseromseksperiment ved å konstruere en modell.

Trinn 3: Praktisk eksperimentmodell

Modellen består av lasercut -stier som fungerer som spor for marmorene. For å demonstrere at brachistochron -kurven er den raskeste banen fra punkt A til B bestemte vi oss for å sammenligne den med to andre baner. Ettersom ganske mange mennesker intuitivt ville føle at den korteste delen er den raskeste, bestemte vi oss for å sette en rett skråning som forbinder begge punktene som den andre veien. Den tredje er en bratt kurve, da man skulle føle at det plutselige fallet ville generere nok fart til å slå resten.

Det andre eksperimentet der ballene slippes fra forskjellige høyder på tre brachistochrone -baner, resulterer i at ballene når samtidig. Dermed har vår modell 3D -trykte guider som gir enkel utskiftbarhet mellom akrylpanelene som lar begge eksperimentene utføres.

Til slutt sørger frigjøringsmekanismen for at ballene slippes sammen og timemodulen nederst registrerer timene når ballene når bunnen. For å oppnå dette har vi innebygd tre grensebrytere som aktiveres når ballene utløser det.

Merk: Man kan ganske enkelt kopiere dette designet og lage det av papp eller andre materialer som er lett tilgjengelige

Trinn 4: Nødvendige materialer

Her er deler og utstyr for å lage en fungerende modell av brachistochrone -eksperimentet

MASKIN:

1 "furutreplank - dimensjoner; 100 cm x 10 cm

Neodym Magnetx 4 - dimensjoner; 1 cm dia og 0,5 cm i høyden

3D-utskriftsfilament- PLA eller ABS er fine

M3 gjenget innsats x 8 - (valgfritt)

M3 Bolt x 8 - 2,5 cm lang

Treskrue x 3-6 cm lang

Wood Screwx 12 - 2,5 cm lang

ELEKTRONIKK:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- disse bryterne vil fungere som timingsystem

Trykknapp

LCD-skjerm

Jumpwire x mange

Den totale kostnaden for modellen kom på rundt 3 0 $

Trinn 5: 3D -utskrift

Flere deler som utløsermekanismen og kontrollboksen ble laget ved hjelp av en 3d -skriver. Følgende liste inneholder totalt antall deler og deres utskriftsspesifikasjoner. Alle STL -filene finnes i en mappe vedlagt ovenfor, slik at en kan gjøre de nødvendige endringene om nødvendig.

Kontrollboks x 1, 20% fylling

Veileder x 6, 30% utfylling

Sluttstopp x 1, 20% utfylling

Pivot Arm x 1, 20% fylling

Pivot Mount x 1, 30% utfylling

Slippstykke x 1, 20% fylling

Delene ble trykt i PLA da det ikke er noen spesiell belastning som påvirker brikkene. Totalt tok det rundt 40 timer med utskrift.

Trinn 6: Laserskjæring av banene

De forskjellige banene som vi designet på fusion 360 ble eksportert som.dxf-filer og deretter laserskåret. Vi valgte ugjennomsiktig hvit akryl med en tykkelse på 3 mm for å lage kurvene. Man kan til og med lage det av tre med håndverktøy, men det er viktig å sikre at det valgte materialet er stivt, da fleksibilitet kan påvirke hvordan ballene ruller ned.

6 x Brachistochrone -kurve

2 x bratt kurve

2 x rett kurve

Trinn 7: Klipping av treverket

Rammen til modellen er laget av tre. Vi valgte 1 "av 4" furu ettersom vi hadde litt igjen fra et tidligere prosjekt, selv om man kan bruke et treverk etter eget valg. Ved hjelp av en sirkelsag og en guide skjærer vi to trebiter i lengde:

48cm som er lengden på banen

31 cm som er høyden

Vi ryddet opp i de grove kantene ved å slipe det lett på skivesliperen.

Trinn 8: Boring av hullene

Før du skrur sammen de to delene, merker du treets tykkelse på den ene enden av bunnstykket og sentrerer tre like avstandshull. Vi brukte en 5 mm bit for å lage et pilothull på begge trebitene og forsenket hullet på bunnstykket slik at skruehodet kan drives i flukt.

Merk: Vær forsiktig så du ikke deler det vertikale treverket, ettersom det skal bores ned i endekornet. Bruk også lange treskruer, da det er viktig at rammen ikke rister og toppen på grunn av innflytelsen.

Trinn 9: Legge inn varmeavlederne og magnetene

Ettersom trådene i 3d-trykte deler har en tendens til å bli utslitt over tid, bestemte vi oss for å legge inn varmeavleder. Hullene er litt for små for at kjøleribben skal få bedre grep om plasten. Vi plasserte M3 varmeavleder over hullene og dyttet dem inn med spissen av et loddejern. Varmen smelter plasten og lar tennene kile seg inn. Sørg for at de er i flukt med overflaten og har gått inn vinkelrett. Totalt er det 8 plasser for gjengede innsatser: 4 for lokket og 4 for montering av Arduino Uno.

For å gjøre det enklere å montere timingenheten, innebygde vi magneter i esken, noe som gjør det enkelt å koble fra hvis det noen gang er behov for endringer. Magnetene må orientere seg i samme retning før de skyves på plass. S

Trinn 10: Fest grensebryterne

De tre grensebryterne er festet til den ene siden av tidsenheten som vender mot bunnen av stiene. Når ballene klikker på bryterne, kan man således bestemme hvilken ball som nådde først og vise timingen på en LCD -skjerm. Lodd på små ledningsstrimler til terminalene og fest dem i sporene med en skvett CA -lim da de ikke skal løsne etter kontinuerlige slag.

Trinn 11: LCD -skjerm

Lokket på timing -enheten har en rektangulær utskjæring for LCD -skjermen og et hull for "start" -knappen. Vi festet skjermen med klatter med varmt lim til det var i flukt med overflaten på lokket og festet den røde knappen med festemutteren.

Trinn 12: Koble til elektronikken

Ledningen består av å koble de forskjellige komponentene til de riktige pinnene på Arduino. Følg koblingsskjemaet vedlagt ovenfor for å sette opp boksen.

Trinn 13: Last opp koden

Arduino -koden for brachistochron -prosjektet finner du vedlagt nedenfor. Det er to åpninger i elektronikkrommet for enkel tilgang til Arduinos programmeringsport og for strømkontakten.

Den røde knappen som er festet på toppen av boksen brukes til å starte timeren. Når klinkekulene ruller ned kurvene og utløser grensebryterne, som er plassert nederst, blir timingen sekvensielt registrert. Etter at alle tre ballene har truffet, viser LCD -skjermen resultatene, justert med de respektive kurvene (bilder vedlagt ovenfor). Når du har notert resultatene hvis det er nødvendig med en annen lesning, trykker du bare på hovedknappen igjen for å oppdatere timeren og gjenta den samme prosessen.

Trinn 14: 3D -utskriftsguider

Guidene som var 3D -trykte hadde en 3 mm materialbase før støtteveggene startet. Derfor, når akrylpanelene skulle skyves på plass, ville det være et gap mellom panelet og trerammen, noe som reduserte stødigheten i banen.

Derfor måtte guiden legges inn 3 mm i treverket. Siden vi ikke hadde en ruter, tok vi den med til et lokalt verksted og fikk den gjort på en fresemaskin. Etter litt sliping passet utskriftene godt inn, og vi kunne sikre den med treskruer fra siden. Vedlagt ovenfor er en mal for plassering av de 6 guidene på trerammen.

Trinn 15: Legge til stopperen og tidsenheten

Siden timemodulen var et eget system, bestemte vi oss for å lage et raskt monterings- og avmonteringssystem ved hjelp av magneter. På denne måten kan man enkelt programmere det kan bare ta ut enheten. I stedet for å lage en mal for å overføre posisjonen til magnetene som må legges inn i treet, lar vi dem bare koble seg til dem på esken og legger deretter litt lim og plasserer esken på treverket. Limmerkene ble overført til treverket slik at vi raskt kunne bore hullene på de nøyaktige stedene. Fest til slutt den 3d -trykte proppen, og timingen skal passe godt, men kunne løsnes med et lite trekk

Trinn 16: Utgivelsesmekanismen

Utløsermekanismen er grei. Bruk en mutter og bolt for å koble C -delen tett til svingarmen, noe som gjør dem til et sikkert stykke. Bor deretter to hull i midten av det vertikale treet og fest festet. Skyv et svingbart skaft og mekanismen er fullført.

Trinn 17: Eksperimentet

Nå som modellen er klar kan du gjøre følgende eksperimenter

Eksperiment 1

Skyv forsiktig inn akrylpanelene på den rette banen, brachistochron -kurven og den bratte banen (i denne rekkefølgen for best effekt). Trekk deretter låsen opp og legg de tre ballene på toppen av kurven, og sørg for at de er perfekt på linje med hverandre. Hold dem godt på plass med låsen ned. Få en elev til å slippe ballene og en annen trykke på den røde knappen for å starte timingsystemet. Til slutt observer du at ballene ruller nedover banen og analyserer resultatene som vises på timemodulen. Det er enda mer spennende å sette opp et kamera for opptak av sakte film, ettersom man kan se løpet bilde for bilde.

Eksperiment 2

Som det forrige eksperimentglasset i akrylpanelene, men denne gangen må alle stiene være brachistonchrone -kurven. Be en elev forsiktig om å holde de tre ballene i forskjellige høyder denne gangen og trykke på den røde knappen når ballene slippes. Se det forbløffende øyeblikket når ballene står i perfekt rekkefølge før målstreken, og bekreft observasjonene med resultatene.

Trinn 18: Konklusjon

Fremstillingen av brachistochron-modellen er en praktisk måte å se de magiske måtene som vitenskapen fungerer på. Eksperimentene er ikke bare morsomme å se og engasjerende, men også en syntese av læringsaspekter. Selv om det først og fremst er et prosjekt beregnet på videregående studenter, både praktisk og teoretisk, kan denne demonstrasjonen lett forstås av yngre barn og kan vises som en forenklet presentasjon.

Vi vil oppmuntre folk til å lage ting, enten det er en suksess eller fiasko, for på slutten av dagen er STEM alltid morsomt! Glad i å lage!

Ikke stem i klassekonkurransen hvis du likte instruksjonene, og legg igjen tilbakemeldingen i kommentarfeltet.

Storpris i klasseromsvitenskapskonkurransen