Gaussian og Parabola for å studere LED -lysstrømmer fra en eksperimentell lampe: 6 trinn

2024 Forfatter: John Day | [email protected]. Sist endret: 2024-01-30 11:21

Hei til alle beslutningstakere og til det travle fellesskapet Instructable.

Denne gangen vil Merenel Research gi deg et rent forskningsproblem og en måte å løse det på med matematikk.

Jeg hadde dette problemet selv mens jeg beregnet LED -flussene til en RGB LED -lampe jeg bygde (og som jeg skal lære å bygge). Etter grundig leting på nettet fant jeg ikke noe svar, så her legger jeg ut løsningen.

PROBLEMET

Svært ofte i fysikk må vi forholde oss til kurver som har formen til den gaussiske fordelingen. Ja! Det er den klokkeformede kurven som ble brukt til å beregne sannsynlighet og ble brakt til oss fra den store matematikeren Gauss.

Gauss -kurven brukes mye i fysiske applikasjoner i det virkelige liv, spesielt når vi må håndtere stråling som forplantes fra en kilde eller mottas fra en mottaker, for eksempel:

- utslipp av kraften til et radiosignal (f.eks. Wi-Fi);

- lysstrømmen fra en LED;

- lesing av en fotodiode.

I produsentdatabladet får vi ofte den faktiske verdien av Gauss -området, som vil være den totale strålingseffekten eller lysstrømmen i en viss del av spekteret (f.eks. Av en LED), men det blir vanskelig å beregne den faktiske strålingen avgitt på toppen av kurven eller enda vanskeligere å kjenne den overlappende strålingen fra to nære kilder, for eksempel hvis vi lyser med mer enn en LED (f.eks. blått og grønt).

I denne instruksjonsboken vil jeg forklare deg hvordan du kan tilnærme Gauss med en mer lettfattelig kurve: en parabel. Jeg vil svare på spørsmålet: hvor mange gaussiske kurver er det i en parabel?

SPOILER → SVARET ER:

Det gaussiske området er alltid 1 enhet.

Arealet til den tilsvarende parabolen med samme base og høyde er 2,13 ganger større enn det relative Gauss -området (se bildet for den grafiske demonstrasjonen).

Så en Gauss er 46,94% av parabolen, og dette forholdet er alltid sant.

Disse to tallene er relatert på denne måten 0.46948 = 1/2.13, dette er det strenge matematiske forholdet mellom en gaussisk kurve og dens parabel og omvendt.

I denne guiden vil jeg lede deg til å oppdage dette trinnvis.

Det eneste instrumentet vi trenger er Geogebra.org, et flott online matematisk verktøy for å tegne diagrammer.

Geogebra -diagrammet jeg laget for å sammenligne en parabel med en gaussisk, finner du på denne lenken.

Denne instruerbare er lang fordi handler om en demonstrasjon, men hvis du raskt må løse det samme problemet som jeg hadde med LED -lysstrømmer eller et annet fenomen med overlappende Gauss -kurver, kan du bare hoppe på regnearket som du finner vedlagt i trinnet 5 i denne guiden, som vil gjøre livet ditt enklere og automatisk gjøre alle beregningene for deg.

Jeg håper du liker anvendt matematikk fordi denne instruktive handler om det.

Trinn 1: Forstå lyset fra en monokromatisk LED

I denne analysen vil jeg vurdere en serie med farget LED, som du tydelig ser fra deres spektrumdiagram (første bilde) deres spektrale effektfordeling virkelig ser ut som en Gaussian som konvergerer til x -aksen ved -33 og +33nm av gjennomsnittet (produsenter gir vanligvis denne spesifikasjonen). Vær imidlertid oppmerksom på at representasjonen av dette diagrammet normaliserer alle spektrene på en enkelt kraftenhet, men lysdioder har forskjellig effekt i henhold til hvor effektivt de produseres og hvor mye elektrisk strøm (mA) du mater inn i dem.

Som du noen ganger kan se, overlapper lysstrømmen til to LED på spekteret. La oss si at jeg lett vil beregne det overlappende arealet til disse kurvene, for i det området vil det være den doble mengden kraft, og jeg vil vite hvor mye effekt i lumen (lm) vi har der, vel, det er ikke det en enkel oppgave vi prøver å svare på i denne guiden. Problemet oppsto fordi da jeg bygde den eksperimentelle lampen, ville jeg virkelig vite hvor mye det blå og grønne spekteret overlappet hverandre.

Vi vil bare fokusere på monokromatiske lysdioder som er de som sender ut i en smal del av spekteret. I diagrammet: ROYAL BLUE, BLUE, GREEN, ORANGE-RED, RED. (Den faktiske lampen jeg bygger er RGB)

FYSISK BAKGRUNN

La oss spole litt tilbake og gjøre en liten forklaring på fysikken først.

Hver LED har en farge, eller mer vitenskapelig vil vi si at den har en bølgelengde (λ) som bestemmer den, og som måles i nanometer (nm) og λ = 1/f, hvor f er frekvensen for fotonets oscillasjon.

Så det vi kaller RØDT er i utgangspunktet en (flott) haug med fotoner som svinger ved 630 nm, disse fotonene treffer saken og spretter i øynene våre, som fungerer som reseptorer, og deretter behandler hjernen fargen på objektet som RØDT; eller fotonene kan gå direkte inn i øynene dine, og du vil se LED -en som sender dem glødende i RØD farge.

Det ble oppdaget at det vi kaller lys faktisk bare er en liten del av det elektromagnetiske spektrumet, mellom 380 nm og 740 nm; så lys er en elektromagnetisk bølge. Det som er nysgjerrig om den delen av spekteret er at det er nettopp biten av spekteret som lettere passerer gjennom vann. Gjett hva? Våre gamle forfedre fra Ursuppen var faktisk i vann, og det var i vannet der de første, mer komplekse, levende vesene begynte å utvikle øyne. Jeg foreslår at du ser på videoen av Kurzgesagt jeg har lagt ved for å bedre forstå hva som er lys.

For å oppsummere avgir en LED lys, som er en viss mengde radiometrisk effekt (mW) ved en bestemt bølgelengde (nm).

Vanligvis, når vi har å gjøre med synlig lys, snakker vi ikke om radiometrisk kraft (mW), men om lysstrøm (lm), som er en måleenhet som veies ved reaksjonen på synlig lys i menneskers øyne, og kommer fra candela måleenhet, og den måles i lumen (lm). I denne presentasjonen vil vi vurdere lumenene som sendes ut av LED -er, men alt vil gjelde mW nøyaktig i samme grad.

I et hvilket som helst LED -datablad vil produsenten gi deg disse informasjonsbitene:

For eksempel fra dette vedlagte databladet ser du at hvis du driver begge leddene med 100mA har du det:

BLÅ er på 480nm og har 11lm lysstrøm;

GRØNN er på 530 nm og har 35 lm lysstrøm.

Dette betyr at Gaussian Curve of Blue vil være høyere, den vil øke mer uten å endre bredden, og den vil svinge rundt delen som er avgrenset av den blå linjen. I denne artikkelen vil jeg forklare hvordan du beregner høyden på Gaussian som uttrykker full toppeffekt som LED -en sender ut, ikke bare effekten som sendes ut i den delen av spekteret, dessverre vil den verdien være lavere. Videre vil jeg prøve å tilnærme den overlappende delen av de to lysdiodene for å forstå hvor mye lysstrøm som overlapper når vi har å gjøre med lysdioder som er "naboer" i spekteret.

Å måle strømmen av lysdioder er en veldig kompleks sak. Hvis du er ivrig etter å vite mer, har jeg lastet opp et detaljert papir av Osram som forklarer hvordan ting gjøres.

Trinn 2: Introduksjon til parabolen

Jeg vil ikke gå inn på mange detaljer om hva som er en parabel da det studeres grundig på skolen.

En ligning av en parabel kan skrives i følgende form:

y = ax^2+bx+c

ARCHIMEDES HJELPER OSS

Det jeg vil understreke er en viktig geometrisk teorem av Archimedes. Det teoremet sier er at arealet av en parabel begrenset i et rektangel er lik 2/3 av rektangelområdet. På det første bildet med parabolen kan du se at det blå området er 2/3 og de rosa områdene er 1/3 av arealet av rektanglet.

Vi kan beregne parabolen og dens ligning ved å kjenne tre punkter i parabolen. I vårt tilfelle vil vi beregne toppunktet, og vi kjenner skjæringspunktene med x -aksen. For eksempel:

BLÅ LED Vertex (480,?) Y i toppunktet er lik lysstyrken som sendes ut ved toppbølgelengden. For å beregne det vil vi bruke forholdet som eksisterer mellom arealet til en gaussisk (faktisk fluks avgitt av LED) og en av en parabel, og vi vil bruke Archimedes teorem for å kjenne høyden på rektangelet som inneholder den parabolen.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLISK MODELL

Når du ser på bildet som jeg har lastet opp, kan du se en kompleks modell for å representere med paraboler flere forskjellige LED -lysstrømmer, men vi vet at deres representasjon ikke akkurat er slik som den ligner mer på en gaussisk.

Imidlertid, med paraboler, ved hjelp av matematiske formler kan vi finne alle skjæringspunktene til flere paraboler og beregne de kryssende områdene.

I trinn 5 har jeg lagt ved et regneark der jeg har satt alle formlene for å beregne alle parabolene og deres kryssende områder av de monokromatiske lysdiodene.

Vanligvis er basen til Gaussian på en LED 66nm, så hvis vi kjenner den dominerende bølgelengden og vi tilnærmer LED-strålingen med en parabel, vet vi at den relative parabelen vil krysse x-aksen i λ+33 og λ-33.

Dette er en modell som tilnærmet et totalt LED -avgitt lys med parabel. Men vi vet at hvis vi vil være presise, er det ikke akkurat riktig, vi må bruke en Gauss -kurve, noe som bringer oss til neste trinn.

Trinn 3: Introduksjon til den gaussiske kurven

En Gaussian er en kurve som vil høres mer kompleks ut enn en parabel. Det ble oppfunnet av Gauss for å tolke feil. Faktisk er denne kurven veldig nyttig å se den sannsynlige fordelingen av et fenomen. Så langt vi beveger oss mot venstre eller høyre fra gjennomsnittet, har vi et visst fenomen som er sjeldnere, og som du kan se fra det siste bildet, er denne kurven en veldig god tilnærming til virkelige hendelser.

Den gaussiske formelen er den skumle som du ser som et annet bilde.

De gaussiske egenskapene er:

- det er symmetrisk respekt for gjennomsnittet;

- x = μ ikke bare sammenfaller med det aritmetiske gjennomsnittet, men også med medianen og modusen;

- det er asymptotisk ved x -aksen på hver side;

- det reduseres for xμ;

- den har to bøyningspunkter i x = μ-σ;

- arealet under kurven er 1 enhet (det er sannsynligheten for at noen x vil bekrefte)

σ er standardavviket, jo større tall jo bredere Gauss -basen er (første bilde). Hvis en verdi er i 3σ -delen, ville vi vite at den virkelig beveger seg bort fra gjennomsnittet, og det er mindre sannsynlighet for at det skjer.

I vårt tilfelle, med lysdioder, kjenner vi området til Gaussian som er lysstrømmen gitt i produsentens datablad ved en gitt bølgelengdetopp (som er gjennomsnittet).

Trinn 4: Demonstrasjon med Geogebra

I denne delen vil jeg lære deg hvordan du bruker Geogebra for å demonstrere at en parabel er 2,19 ganger sin Gauss.

Først må du opprette et par variabler, klikke på glidebryterkommandoen:

Standardavviket σ = 0,1 (standardavviket definerer hvor bred Gauss -kurven er, jeg satte en liten verdi fordi jeg ønsket å gjøre det smalt for å simulere en LED -spektral effektfordeling)

Gjennomsnittet er 0, så Gauss er bygd på y -aksen, der det er lettere å arbeide.

Klikk på den lille bølgefunksjonen for å aktivere funksjonsdelen; der ved å klikke på fx kan du sette inn den gaussiske formelen, og du vil se dukke opp på skjermen en fin høy Gaussisk kurve.

Grafisk vil du se hvor kurven konvergerer på x-aksen, i mitt tilfelle i X1 (-0,4; 0) og X2 (+0,4; 0) og hvor toppunktet er i V (0; 4).

Med dette trepunktet har du nok informasjon til å finne parabelens ligning. Hvis du ikke vil beregne for hånd, kan du bruke dette nettstedet eller regnearket i neste trinn.

Bruk funksjonskommandoen (fx) for å fylle ut parabelfunksjonen du nettopp har funnet:

y = -25x^2 +4

Nå må vi forstå hvor mange gaussere som er i en parabel.

Du må bruke funksjonskommandoen og sette inn kommandoen Integral (eller Integrale i mitt tilfelle, slik jeg brukte den italienske versjonen). Den bestemte integralen er den matematiske operasjonen som lar oss beregne arealet til en funksjon definert mellom x verdier. Hvis du ikke husker hva en bestemt integral er, kan du lese her.

a = Integrert (f, -0,4, +0,4)

Denne Geogebra -formelen vil løse det definerte integralet mellom -0,4 og +0,4 for funksjonen f, Gaussian. Siden vi har å gjøre med en Gaussian, er området 1.

Gjør det samme for parabolen, og du vil oppdage det magiske tallet 2.13. Som er nøkkeltallet for å gjøre alle lysstrømskonverteringene med lysdioder.

Trinn 5: Eksempel på virkeligheten med lysdioder: Beregning av fluks -toppen og de overlappende fluksene

LYSSTYRENDE FLYS PÅ PIKEN

Det er veldig enkelt å beregne den faktiske høyden på de omrørte Gauss -kurvene til LED -fluxfordelingen, nå som vi har oppdaget konverteringsfaktoren 2.19.

for eksempel:

BLÅ LED har 11lm lysstrøm

- vi konverterer denne fluksen fra Gauss til parabolsk 11 x 2.19 = 24.09

- vi bruker Archimedes teorem til å beregne det relative rektangelområdet som inneholder parabolen 24,09 x 3/2 = 36,14

- vi finner høyden på det rektangelet som deler seg for basen av Gaussian for BLÅ LED, gitt i databladet eller sett på databladet, vanligvis rundt 66nm, og det er vår effekt på toppen av 480nm: 36,14 / 66 = 0,55

OVERLAPPENDE LYSLIGE FLUXOMRÅDER

For å beregne to overlappende stråler vil jeg forklare med et eksempel med følgende to lysdioder:

BLÅ er på 480nm og har 11lm lysstrøm GRØNN er på 530nm og har 35lm lysstrøm

Vi vet og vi ser fra diagrammet at begge gaussiske kurver konvergerer i -33nm og +33nm, og derfor vet vi at:

- BLÅ skjærer x -aksen i 447 nm og 531 nm

- GRØNN skjærer x -aksen i 497 nm og 563 nm

Vi ser tydelig at de to kurvene krysser hverandre, da den ene enden av den første er etter begynnelsen av den andre (531 nm> 497 nm), så lyset til disse to lysdiodene overlapper hverandre på noen punkter.

Vi må først beregne parabolligningen for begge. Det vedlagte regnearket er der for å hjelpe deg med beregninger, og har innebygd formlene for å løse ligningssystemet for å bestemme de to parabolene som kjenner x -aksen som krysser punkter og toppunktet:

BLÅ parabol: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

GRØN parabel: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

i begge tilfeller a> 0 og, så parabolen peker riktig opp ned.

For å bevise at disse parabolene er riktige, fyll ut a, b, c i toppunktskalkulatoren på denne nettstedet for parabolkalkulatorer.

På regnearket er alle beregningene allerede gjort for å finne skjæringspunktene mellom parabolene og for å beregne det bestemte integralet for å få de skjærende områdene til disse parabolene.

I vårt tilfelle krysser områdene med blå og grønne LED -spektra 0,4247.

Når vi har de kryssende parabolene, kan vi multiplisere dette nystiftede skjæringsområdet for den gaussiske multiplikatoren 0.4694 og finne en veldig nær tilnærming til hvor mye strøm LEDene totalt avgir i den delen av spekteret. For å finne den eneste LED -fluxen som sendes ut i den delen, bare divider med 2.

Trinn 6: Studien av de monokratiske lysdiodene til den eksperimentelle lampen er nå fullført

Tusen takk for at du leser denne forskningen. Jeg håper det vil være nyttig for deg å forstå dypt hvordan lys sendes ut fra en lampe.

Jeg studerte lysstrømmen til lysdiodene til en spesiell lampe laget med tre typer monokromatiske lysdioder.

"Ingrediensene" for å lage denne lampen er:

- 3 LED BLU

- 4 LED GRØNN

- 3 LED RØD

- 3 motstander for å begrense strømmen i LED -kretsgrenene

- 12V 35W strømforsyning

- Deksel i preget akryl

- OSRAM OT BLE DIM -kontroll (Bluetooth LED -kontrollenhet)

- Kjøleribbe i aluminium

- M5 fet skrift og nøtter og L -braketter

Kontroller alt med Casambi APP fra smarttelefonen din, du kan slå på og dimme hver LED -kanal separat.

Å bygge lampen er veldig enkelt:

- fest LED-en til kjøleribben med dobbeltsidig tape;

- lodd alle BLU LED -seriene i serie med en motstand, og gjør det samme med den andre fargen for hver gren av kretsen. I henhold til lysdiodene du vil velge (jeg brukte Lumileds LED) må du velge motstandsstørrelse i forhold til hvor mye strøm du vil mate inn i LED og til total spenning gitt av strømforsyningen på 12V. Hvis du ikke vet hvordan du gjør dette, foreslår jeg at du leser denne flotte instruksjonen om hvordan du bestemmer størrelsen på en motstand for å begrense strømmen til en serie lysdioder.

-koble ledningene til hver kanal på Osram OT BLE: alt det positive i grenene til lysdiodene går til det vanlige (+) og de tre negative av grenene går til -B (blå) -G (grønn) -R (rød).

- Koble strømforsyningen til inngangen til Osram OT BLE.

Det som er kult med Osram OT BLE er at du kan lage scenarier og programmere LED -kanalene, som du kan se i den første delen av videoen, demper jeg de tre kanalene, og i den andre delen av videoen bruker jeg noen ferdiglagde lysscenarier.

KONKLUSJONER

Jeg har i stor grad brukt matte for å forstå dypt hvordan flussene til disse lampene ville forplante seg.

Jeg håper virkelig at du har lært noe nyttig i dag, og jeg vil gjøre mitt beste for å bringe til lærbare flere tilfeller av dyptgående anvendt forskning som denne.

Forskning er nøkkelen!

Så langt!

Pietro